Дифференциальное включение (математика)

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{dt} \in F(t,x), \qquad (*) }[/math]

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math] непустое компактное множество [math]\displaystyle{ F(t,x) }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n. }[/math] Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию [math]\displaystyle{ x(t), }[/math] которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях [math]\displaystyle{ t. }[/math] Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Связь дифференциальных включений с управляемыми системами

Рассмотрим управляемую систему

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = f(t,x,u), \quad u(t) \in U, \qquad (**) }[/math]

где [math]\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^m }[/math] есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив [math]\displaystyle{ F(t,x)=f(t,x,U)= \{f(t,x,u) \ : \ \forall u\in U\} }[/math]. При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] включения (*) существует такое допустимое управление [math]\displaystyle{ u(t) \in U, }[/math] что функция [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] будет являться траекторией системы (**) с этим управлением. Это утверждение называется леммой А.Ф. Филиппова.

Связанные понятия

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] называется множество [math]\displaystyle{ \textrm{Cont}\ x(t_0) }[/math] всех предельных точек последовательностей

[math]\displaystyle{ \frac{x(t_i)-x(t_0)}{t_i-t_0}, \quad t_i \to t_0, \quad i=1,2,\ldots }[/math]

Паратингенцией вектор-функции [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] называется множество [math]\displaystyle{ \textrm{Parat}\ x(t_0) }[/math] всех предельных точек последовательностей

[math]\displaystyle{ \frac{x(t_i)-x(t_j)}{t_i-t_j}, \quad t_i \to t_0, \quad t_j \to t_0, \quad i,j=1,2,\ldots }[/math]

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции [math]\displaystyle{ x(t)=|t| }[/math] в точке [math]\displaystyle{ t_0=0 }[/math] множество [math]\displaystyle{ \textrm{Cont}\ x(0) }[/math] состоит из двух точек: [math]\displaystyle{ \pm 1, }[/math] а множество [math]\displaystyle{ \textrm{Parat}\ x(0) }[/math] является отрезком [math]\displaystyle{ [-1,+1]. }[/math]

Вообще, всегда [math]\displaystyle{ \textrm{Cont} \subset \textrm{Parat} }[/math]. Если существует обычная производная [math]\displaystyle{ x'(t_0), }[/math] то [math]\displaystyle{ \textrm{Cont} \ x(t_0) = x'(t_0), }[/math] а если обычная производная [math]\displaystyle{ x'(t) }[/math] существует в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] и непрерывна в самой этой точке, то [math]\displaystyle{ \textrm{Cont}\ x(t_0)= \textrm{Parat} \ x(t_0) = x'(t_0) }[/math].

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
• А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
• A. Cellina. A VIEW ON DIFFERENTIAL INCLUSIONS, — Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino - Vol. 63, 3 (2005).